tasas e indices

una tasa es una razon entre 2 magnitudes con distintas unidades, y una razon es una forma de comparar 2 cantidades y se expresa como una fraccion reducida. a una tasa cuyo denominador es 1 se le llama tasa unitaria

ejercicio:
1 ¿cuantos km de sal se pueden comprar con $5 pesos?
razon 10kg/5 pesos  10/5=2
tasa unitaria 2kg/1 peso

2 una mandguera de agua expulsa 20 galones en 40 segundos
razon: 20 galones/ 40 segundos
tasa unitaria: .05 galones/ 1 segundo

Por otro lado 1 indice es una referencia matematica que mide cuantitativamente el resultado de una actividad, por lo tanto es una relacion entre 2 o mas numeros.
un indice es una medida que informa acerca de los cambios de valor que experimenta una variable en 2 situaciones, 1 de los cuales se toma como referencia.
La comparacion generalmente se hace por medio de una division. A la situacion inicial se le llama periodo base y a la situaciones que queremos comparar, periodo actual o corriente

i = X+/Xo

i=indice
X+=periodo a estudiar
Xo=periodo base

ESTADISTICA
La estadistica es la rama de las matematicas que se ocupa de reunir, organizar y analizar uno o mas conjuntos de datos en forma ordenada para resolver problemas.

ESTADISTICA DESCRIPTIVA
Tiene como objeto la recolección, presentación  y descripción de datos numéricos.

ESTADISTICA INFERENCIAL
Se ocupa de los métodos para la toma de desiciones

Para recopilar los datos se utilizan 2 métodos:
°°aplicación de encuestas
°°observación directa

La información o datos obtenidos pueden ser:
°°cualitativos
°°cuantitativos

La información que se obtiene se debe presentar de forma ordenada, para lo cual se requiere una tabla de frecuencias.

POBLACION
Es el conjunto de los elementos de un grupo que se estudia.

MUESTRA
Es el subconjunto de la población.

VARIABLE
Es una característica que presentan los elementos.

DATO
Es el valor de la variable asociado con un elemento de una población o muestra.

Ángulos Relacionados

*ÁNGULO CENTRAL.- Es el que tiene su vértice en el origen o centro.

*ÁNGULO INTERIOR.- Tiene su vértice en el interior de la circunferencia.

*ÁNGULO INSCRITO.- Es el que tiene su vértice en la circunferencia y está formado por 2 cuerdas.

*ÁNGULO SEMINSCRITO.- Es el que tiene su vértice en la circunferencia y está formado por un acuerda y una secante.

*ÁNGULOS EXTERIORES.- Ángulo exterior es el que tiene un vértice en el exterior de la circunferencia y está formado por 2 secantes y una o 2 tangentes.

°°En toda circunferencia, la medida del ángulo central es igual a la medida del arco comprendido entre sus lados.

°°En toda circunferencia, la medida del ángulo inscrito es igual a la mitad del arco comprendido entre sus lados.

°°En toda circunferencia, la medida del ángulo seminscrito es igual a la mitad del arco comprendido entre sus lados.

°°La medida del ángulo interior es la semisuma de los arcos comprendidos entre sus lados y sus prolongaciones.

EJERCICIOS:

Encuentra:

< ADC = 1/2 AC = 55°

< CAD = 1/2 DC = 50°

< ABD = AD-AC / 2 = 20°

< BAC = < DAB - < CAD = 40°

Encuentra:

< BAC = 1/2 BC = 25°

< BAD = 1/2 BD = 65°

< CAD = 1/2 CD = 40°

Ejemplos Senos y Cosenos

1.-Resuelve el siguente triangulo oblicuàngulo.


                                                       

Solucion:
Se determina primero la longitud de AB mediante la ley de cosenos. Puesto que AB=c entonces..
c2=(46)2+(75)2-2(46)(75) cos 135º
c2=2116+5625-(-4879.0)
c2=12620
c2=SQRT(12620)
c2=112.3


Para hallar la medida del angulo A se utiliza la ley de los senos.
De acuerdo con la figura.

SenA      Sen C
-----  =  ------
  a              c

Sen A      Sen 135°
------  =  ---------
  75            112.3


Sen A =  75( sen 135°)
               --------------
                112.3

Sen A=  75 (0.7071)
             --------------
                   112.3

Sen A= 0.47224
       A= sen-1 0.47224
       A= 28.2°


La medida del angulo B

m<A+m<A+m<C=180°
28.2+m<A+135=180°

m<B=16.8°








2.- Resuelve el Ttriangulo oblicuangulo.

Hallar la medida del angulo C.

c2=a2+b2-2ab cos C

c2+2ab cos C= a2+b2


2ab cos C= a2+b2-c2


Cos C= a2+b2-c2
                 ----------------------
                        2ab

Cos C= (50)2+(35)2-(74)2
                 -----------------------------------------
                        2(50)(35)

Cos C=  2500+1225-5476
              -------------------
                       3500

Cos C=-0.500
<C=cos-1(0.500)
C=120º


Angulo B

                                                            Sen B        Sen C
                                                            ------   =   -------
                                                                b                c

Sen B=  b sen C
            ----------
                 c

Sen B=  35 sen 120ª
             -------------
                     74

Sen B= 0.4096

B=arc sen-1 0.4096

B= 24.2ª

Por lo tanto <A= 35.8 ya que <A=180º- <B-<C.



3.- Halla la medida del angulo A del triangulo mostrado en la figura siguiente

De acuerdo con la ley de los senos se tiene que:

                                      Sen A     sen B
                                      ------  = -------
                                         25            28

Sen A= 25 sen (60º)
            --------------
                   28

Sen A= 0.77324

<A= sen-1 0.77324
<A= 50.6º




4.- Halla la longitud del lado AB del triangulo oblicuàngulo de la figura siguiente.

c2=a2+b2-2ab cos g
c2= 14.6 2+30.1 2- 2(35.4) (30.1) cos 120º
 c2= 213.16 2+30.1 2 -21311.08 cos 120º
c2= 1119.17-21311.08 (cos 120º)
c2= SQRT (20191.91) (cos 120º)
c2= 30.1


cos º




5.- Determina la longitud del lado BC del triangulo de la figura siguiente

a2= b2+c2+-2ab Cos a
a2= 462+ 1122- 2(46)(112) cos 28º
a2=2116+12544-2(5152) cos28º
a2=14660-2(2418.71)
a2=14660-4837.42
a2=9822.58
a2= SQRT (9822.58)
a= 74.6

  

Rectas tangentes de un círculo

Si una recta es tangente a una circunferencia, entonces ésta es perpendicular al radio trazado al punto de tangencia.    

OX es perpendicular a la tangente XY

Circunferencia

*CIRCUNFERENCIA.- Es una figura plana y cerrada formada por puntos equidistantes de un punto fijo llamado centro.

*CÍRCULO.- Es la superficie plana limitada por la circunferencia.

OA - Radio.- Es el segmento que une al centro con cualquier punto de la circunferencia.

DF - Cuerda.- Es todo segmento rectilíneo que une 2 puntos de la circunferencia.

BC - Diámetro.- Es toda cuerda que pasa por el centro.

EG - Flecha.- Es el segmento perpendicular a la flecha que une al punto medio de ésta con el arco subtendido por ella.

HI - Secante.- Es toda recta que corta a la circunferencia en 2 puntos cualesquiera.

JK - Tangente.- Cualquier recta que toca a la circunferencia en un solo punto, llamado punto de tangencia.

AC - Arco.- Es la parte continua de la circunferencia.

Ley de Senos y Cosenos

Cosenos:
El cuadrado de la longitud de un lado de un triangulo es igual a la suma de los cuadrados de la longitud de los otros dos lados, menos el doble del producto de la longitud de dichos lados, por el coseno del angulo que estos formaran.
Si a. b y c son las longitudes de los lados de un triangulo cualquiera, y C denota la medida del angulo comprendido entre los lados de la longitud.
(c2=a2+b2-2ab cos C )


Senos:
Las longitudes de los lados de un triangulo son proporcionales a los senos de los angulos opuestos.
Si a. b y c son las longitudes de los lados de un triangulo cualquiera y A B y C son respectivamente, los angulos que se oponen a dichos lados, entonces se tiene la relacion sigueiente.